Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;4\right)\) bán kính \(R=5\)

Điểm A thuộc (C) nên tiếp tuyến d qua A vuông góc IA

\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(3;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng d nhận (3;4) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(3\left(x+1\right)+4\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x+4y+3=0\)

a.

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}-4a=-2\\8b=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(2;-4\right)\)

\(R=\sqrt{2^2+\left(-4\right)^2+5}=5\)

b.

PTTT: \(\left(C\right):\left(a-x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(b-y_0\right)\left(y-y_0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2+1\right)\left(x+1\right)+\left(-4-0\right)\left(y-0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(C\right):3x-4y=-3\)

c.

Ta có: \(\Delta\perp d\Rightarrow\Delta:4x+3y+c=0\)

\(d\left(I,\Delta\right):\dfrac{\left|4\cdot2-3\cdot4+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|c-4\right|=25\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}c=29\\c=-21\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta:4x+3y+29=0\\\Delta:4x+3y-21=0\end{matrix}\right.\)

a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.

Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:

(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2

⇒ A thuộc đường tròn (C)

⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A

⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA

⇒ (d’) nhận  là một vtpt và đi qua A(–1; 0)

⇒ phương trình (d’): 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0 hay 3x – 4y + 3 = 0.

c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).

(d) có  là một vtpt; 1 VTCP là ud→(4; 3)

(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận  là một vtpt

⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.

(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R

Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.

a)     Tâm I(2 ; -4), R = 5

b)    Đường tròn có phương trình:    (x – 2 )² + (y + 4)²  = 25

Thế tọa độ A(-1 ; 0) vào vế trái, ta có :

(-1- 2 )² + (0 + 4)²  = 3² + 4² = 25

Vậy A(-1 ;0) là điểm thuộc đường tròn.

Áp dụng công thức tiếp tuyến (Xem sgk)

Ta được pt tiếp tuyến với đường tròn tai A là:

(-1 – 2)(x – 2) + (0 + 4)(y + 4) = 25   <=>   3x – 4y + 3 = 0

Chú ý:

1. Theo tính chất tiếp tuyến với đường tròn tại 1 điểm thuộc đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, ta có thể giải câu này như sau:

Vectơ    = (-3; 4)

Tiếp tuyến đi qua A(-1; 0) và nhận  làm một vectơ pháp tuyến có phương trình:

-3(x + 1) + 4(y – 0) = 0  ,<=> 3x – 4y + 3 = 0

a) Để tìm phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) đi qua điểm A(5,7), ta sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến tâm đường tròn:

$I\hat{A} = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2}$

Với I là tâm đường tròn, A là điểm trên đường tròn.

Ta có: $x_I = 2$, $y_I = 3$, $x_A = 5$, $y_A = 7$

Thay vào công thức ta được:

$\sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{34}$

Vậy bán kính của đường tròn là $\sqrt{34}$.

Phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) và bán kính $\sqrt{34}$ là:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 34$

b) Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn © : $(x-1)^2 + ( y+5)^2 =4$, ta cần tìm đạo hàm của phương trình đường tròn tại điểm cần tìm tiếp tuyến.

Ta có phương trình đường tròn chính giữa:

$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$

Đạo hàm hai vế theo x:

$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$

Suy ra:

$y' = -\frac{x-1}{y+5}$

Tại điểm M(x,y) trên đường tròn, ta có:

$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$

Đạo hàm hai vế theo x:

$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$

Suy ra:

$y' = -\frac{x-1}{y+5}$

Vậy tại điểm M(x,y), phương trình tiếp tuyến của đường tròn là:

$y - y_M = y'(x-x_M)$

Thay $y'$ bằng $\frac{-(x-1)}{y+5}$ và $x_M$, $y_M$ bằng 1, -5 ta được:

$y + 5 = \frac{-(x-1)}{y+5}(x-1)$

Simplifying:

$x(y+5) + y(x-1) = 6$

Đường thẳng (d) có phương trình là $3x + 4y - 1 = 0$. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên hệ số góc của tiếp tuyến

Em ghi lại pt đường tròn nhé, bị lỗi rồi

Bài 2:
Viết lại PTĐTr: $(x-2)^2+(y+4)^2=25$

Tâm của đường tròn: $I(2,-4)$

Gọi $(d)$ là pt tiếp tuyến của đường tròn tại $A$. Khi đó $(d)$ nhận $\overrightarrow{IA}=(-3,4)$ là vecto pháp tuyến

Dạng của PT $(d)$ là:

$-3(x+1)+4(y-0)=0$ hay $-3x+4y=3$

Bài 1:

PTĐTr có tâm $I(1,-2)$ có dạng:

$(C): (x-1)^2+(y+2)^2=R^2$

a)

Vì $(C)$ đi qua $A(3,5)$ nên $(3-1)^2+(5+2)^2=R^2$ hay $R^2=53$

Vậy PTĐTr có dạng $(x-1)^2+(y+2)^2=53$

b)

Vì $(C)$ tiếp xúc với $(d):x+y=1$ nên $d(I,(d))=R$

$\Leftrightarrow \frac{|1+(-2)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=R$ hay $R=\sqrt{2}\Rightarrow R^2=2$

Vậy PTĐTr có dạng $(x-1)^2+(y+2)^2=2$

Bài 2:
Viết lại PTĐTr: $(x-2)^2+(y+4)^2=25$

Tâm của đường tròn: $I(2,-4)$

Gọi $(d)$ là pt tiếp tuyến của đường tròn tại $A$. Khi đó $(d)$ nhận $\overrightarrow{IA}=(-3,4)$ là vecto pháp tuyến

Dạng của PT $(d)$ là:

$-3(x+1)+4(y-0)=0$ hay $-3x+4y=3$

b) Vecto pháp tuyến của đường thẳng $(d)$ cần tìm chính là vecto chỉ phương của $x+2y=0$ và bằng $(-2,1)$

Do đó PTĐT $(d)$ có dạng; $-2x+y+m=0(*)$

Ta có \(d(I,(d))=R\Leftrightarrow \frac{|-2.2+(-4)+m|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=5\)

\(\Leftrightarrow |m-8|=5\sqrt{5}\Rightarrow m=8+5\sqrt{5}\) hoặc $m=8-5\sqrt{5}$

Đến đây thế vào $(*)$